Elemental, querida Marilyn

Mario Marotti

ENTRE SOLDADOS de infantería de la Primera Guerra Mundial existía el hábito de guarecerse en los hoyos más recientes de la artillería enemiga, en el entendido de que es improbable que una bomba caiga en el mismo sitio que la anterior. Los jugadores de quiniela llevan cuidadosos registros de los números atrasados en el supuesto de que éstos tienen más posibilidades de salir. Ambos razonamientos son falaces. Como el filósofo Charles Sanders Peirce reconoció, "en ninguna otra rama de las matemáticas es tan fácil equivocarse como en la teoría de probabilidades".

Un caso curioso con esas características ocurrió en 1990; se lo conoce como "Problema Monty Hall". La literatura y el cine no le han sido ajenos. Aparece en la novela El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon. En la película 21 Blackjack, el profesor Micky Rosa (Kevin Spacey) plantea la pregunta a sus estudiantes. Monty Hall es el seudónimo de Monty Halperin, conductor canadiense de un programa similar a los uruguayos "El castillo de la suerte" o "El show del mediodía" donde, mediante la apertura de puertas, los participantes ganan desde premios consuelo (chanchos en Uruguay, cabras en Estados Unidos) a regalos más jugosos (televisores, autos).

UNA CHICA INTELIGENTE.

Marilyn Vos Savant era en aquel momento la persona con mayor coeficiente intelectual del mundo. Si bien la posibilidad de medir la inteligencia mediante tests es algo bastante controversial (el antropólogo Marvin Harris dudaba de que "las puntuaciones de CI midieran otra cosa que no fuera la habilidad para contestar tests de inteligencia"), Marilyn ostentaba un asombroso 228, cuando el promedio es 100 y menos del 3% de la población supera 130. La revista Parade (que se distribuye con más de 400 diarios de Estados Unidos) le había ofrecido una columna donde contestaba inquietudes recibidas por correo. Una de esas preguntas desencadenó el episodio: "Supongamos que le dan a elegir entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, detrás de las otras, cabras. Usted escoge una y el anfitrión abre otra donde no está el auto. A continuación, le dice: ¿Quiere usted cambiar de puerta o conserva la elegida?" Un rápido análisis llevaría a la conclusión de que "da lo mismo". Hay un auto, dos puertas; ninguna de ellas tiene ventaja sobre la otra, las probabilidades son 50%-50%; pero Marilyn respondió: ¡Cambie!

El problema no era nuevo (su origen se remonta a 1889 y había sido analizado en 1959 por Martin Gardner en su famosa columna para Scientific American) pero generó gran polémica. Marilyn recibió una avalancha de cartas (cerca de diez mil, más de mil firmadas por académicos); sus autores reaccionaban con vehemencia ante su supuesta falta de educación matemática. Se llegó incluso al insulto: "La cabra es usted". La cuestión, que no debería haber merecido más que un comentario en las clases de matemática, terminó en la portada del New York Times.

Debe tenerse en cuenta que el presentador abre una puerta después de la elección del jugador (un suceso que no es al azar porque él sabe dónde está el coche y para generar más expectativa evitará esa puerta). El supuesto de que las puertas sean abiertas al azar o que no se ofrezca el cambio conduce a otras situaciones. Vos Savant abordó estas cuestiones en su columna; yendo más lejos, pidió a los docentes que reprodujesen el experimento en el aula. Una abrumadora mayoría confirmó su respuesta: si se cambia se gana en 2/3 de las veces, si no se cambia esa frecuencia se reduce a la mitad.

No es difícil entender porqué: la probabilidad de que en la primera elección el concursante elija la puerta que oculta el auto es 1/3. Tras abrir otra puerta y serle ofrecido el cambio, el participante perderá el coche si cambia. Pero si el jugador escoge una puerta con cabra (con probabilidad 2/3), al presentador sólo le quedará la opción de abrir la del otro animal, y cambiando, se gana el auto. En definitiva, si se mantiene la elección primera se gana si al principio se escogió la puerta del auto (una en tres) mientras que, si se cambia, se gana si originalmente fue escogida una de las otras puertas (dos en tres).

AVISO A LOS QUINIELEROS.

Persi Diaconis, profesor de estadística en la Universidad de Harvard (y mago profesional) admitía que lo ocurrido no lo sorprendía: "Sé que muchas veces mi primera reacción en problemas similares ha sido errónea". En la teoría de probabilidades los ejemplos en tal sentido son abundantes. Un símil sencillo de muchos juegos de azar es el lanzamiento de una moneda. Asumiendo que no esté trampeada, las probabilidades de sacar cara o número en cada tirada son las mismas. Suponiendo que en las primeras cinco tiradas salieran una cara y cuatro números, se decide apostar por "cara", ya que éstas están "atrasadas" y a la larga los resultados deberían equilibrarse. El error está en pensar en que para que ello ocurra (lo que es veraz y se conoce como "Ley de Retorno al Promedio"), en las siguientes tiradas deben salir más caras que números (y ésta es la llamada "Falacia del Jugador"). Si en cinco tiradas más, salieran tres números y dos caras, en total serían siete números y tres caras; la frecuencia está ahora más cerca del 50%-50%, a pesar de que volvieron a salir menos caras que números.

En 1913, varios jugadores perdieron fortunas en la ruleta del casino de Monte Carlo cuando, durante una secuencia de 26 negros, apostaron compulsivamente por rojo. Al final de "El Misterio de Marie Rogt" (1842), Edgar Allan Poe juega con el asunto: "Nada más difícil, por ejemplo, que convencer al lector corriente de que el hecho de que el seis haya sido echado dos veces por un jugador de dados, basta para apostar que no volverá a salir en la tercera tentativa", y termina el párrafo afirmando: "No pretendo exponer aquí, dentro de los límites de este trabajo, el craso error involucrado en esa actitud; para los que entienden de filosofía no necesita explicación. Baste decir que forma parte de una infinita serie de engaños que surgen en la senda de la razón, por culpa de su tendencia a buscar la verdad en el detalle". ¿Cae Poe en la falacia, o utiliza el equívoco como eficaz argumento literario? Después de todo, hasta el propio D`Alembert (matemático creador junto a Diderot de L`Encyclopédie) cometió el error en 1761.

Volviendo al problema de las puertas, muchas personas, incluso después de jugar varias veces, se aferran a no querer abandonar su primera opción. Parece actuar con más fuerza un principio inherente a no querer renunciar a lo que ya se considera propio, que de procurar optimizar las posibilidades de ganar. El problema ha atraído la atención de los psicólogos cognitivos. Recientemente, una serie de investigaciones ha demostrado incluso que otras especies animales logran mejores rendimientos que los humanos en este tipo de pruebas. En un artículo de marzo de 2011 ("Perspicacia animal") del matemático John Allen Paulos para la revista Investigación y Ciencia (versión en español de Scientific American) se reconoce que las palomas lo hacen mejor ya que, después de algunos intentos, terminan decidiéndose por la alternativa correcta: "Las palomas aprenden. Pero ¿calculan o entienden algo? En absoluto. Como buenas empiristas, no hacen más que rendirse ante la evidencia. La gente, en cambio, da demasiadas vueltas al asunto y termina por confundirse".